退職日によって、その月の健康保険・年金を「会社で払うか」「自分で国民健康保険・国民年金を払うか」が変わります。退職日と次の入社日を入れると、月ごとにどうなるかを表示します。
健康保険・厚生年金は「月末の時点でどこに加入しているか」で、その月の保険料が決まります。退職すると退職日の翌日に会社の保険から抜けるので、月末に退職すると月末時点ではまだ会社の保険に入っていて、その月の保険料は会社の保険で払います。月末より前に退職すると、その月は国民健康保険・国民年金の扱いになります。
月末に退職すると、その月の保険料は会社が半分負担してくれて、厚生年金の加入期間も1ヶ月増えます(将来の年金が少し増えます)。月末の数日前に退職すると、その月は国民健康保険・国民年金を自分で全額払うことになります。すぐに次の会社に入るなら、どちらでもほぼ差はありません。
社会保険料は「翌月の給料から前月分を引く」会社が多く、月末退職だと最後の給料から前月分と退職月分の2ヶ月分がまとめて引かれることがあります。間違いではないことがほとんどです。
退職前に2ヶ月以上加入していれば、会社の健康保険を最長2年間続けられる「任意継続」も選べます。退職日の翌日から20日以内に手続きが必要です。国民健康保険とどちらが安いかは、住んでいる地域や収入によって変わります。